Niveau V et IV

    Géométrie :  DOSSIER : Plan sous ensemble de plan / II /  Objectif cours 9

Pré requis:

Lecture :  Le système international

1°)notion d’angle

Les outils  de mesure d’angle :

ENVIRONNEMENT du dossier:

Index    warmaths

Objectif précédent :

1°)notion d’angle

2°) Angle et sa mesure

Objectif suivant 

1.   Angles opérations
2. Le système sexagésimal

3.  liste des objectifs cours sur les angles.
4. Liste des cours disponibles sur la géométrie plane.

DOSSIER :LES UNITES  d’ ANGLES

I ) La loi du 14 janvier 1948

II ) les trois  unités de mesure d’un angle :

III )  CHANGEMENT D’ UNITE « degré ; grade  »   et correspondances avec le « radian »

IV)  Equivalence d’unité  « degré ; grade  » ;  et correspondances avec le « radian »

Les trois unités usités sont :

1°)  le degré

2°)  le grade

3°)le radian.

TEST

COURS

Devoir  Contrôle 

Devoir évaluation 

Interdisciplinarité

   rapporteur                    

Corrigé Contrôle  

Corrigé évaluation  

COURS

Un angle est une grandeur : (une   grandeur :  C’est un nombre associé à une unité)

I )  La loi du 14 janvier 1948 fixe pour unité  légale de mesure d’angle l’angle droit , ainsi défini :

« Angle droit :  est un angle formé par deux droites  se coupant sous des angles adjacents égaux , il se représente  sous le symbole « D » . »

Il y a deux séries de sous multiples usuels légaux de l’angle droit :

1°) le grade

le grade ( gr), qui vaut  1/100 de D ;

le décigrade  ( dgr) , qui vaut 1/1 000 de D ; 

le centigrade ( cgr) , qui vaut 1 / 10 000 de D  est désigné par « ‘ »  

le milligrade  ( mgr) , qui vaut  1/100 000 de D

En outre , bien que ce ne soit pas légal , on utilise pratiquement  la seconde centésimale qui vaut  1/ 1 000 000 de D. est désigné par « ‘‘ »  

2°) le degré

le degré  ( d ou ° )  , qui vaut 1/90 de D

la minute d’angle , ou « minute sexagésimale » , qui vaut 1/60 D et désigné par «  ’ »

 la seconde d’angle , ou « seconde sexagésimale » , qui vaut 1/60 de minute est désigné par « ’’ »

II )  Il y a trois  unités de mesure d’un angle :

Les unités  de mesure d’un angle sont :

Il y a une  «  Relation »  entre le cercle et la  mesure d’un angle:

Remarque : Pour mesurer un angle on additionne des « arcs de cercles » appelés « degré » ou « grade » ,mais on ne mesure pas des  longueurs  de cercle.

1°)le degré  (utilise comme système de numération , le système sexagésimal)

L’outil de mesure est un rapporteur   (cercle gradué en degré ); le cercle est découpé en 360 parties d'arcs égaux . L'angle droit mesure 90 degrés .

  Cliquer ici :  INFORMATION : table des sinus ; cosinus ; …..

Pratiquement  , le degré est employé pour toutes les mesures astronomiques , ainsi que pour la navigation maritime et aérienne, parce que des rapports simples existent entre les mesures de temps et les mesures en degrés  ( 1 h correspond à 15°)

2°) le grade  (utilise comme système de numération , le système décimal)

L’outil de mesure est un rapporteur   (cercle gradué en grades);le cercle est découpé en 400 parties d'arcs égaux . L'angle droit mesure 100 grades.

  Cliquer ici :  INFORMATION : table des sinus ; cosinus ; …..

3° le radian : (symbole  rad )

Par définition : le radian ( symbole rad.) est l’angle au centre qui intercepte sur une circonférence un arc égal au rayon.

 AB = rayon OA = R

  Cliquer ici :  INFORMATION N°1  : table des sinus ; cosinus ; de degré et Radian…..

  Cliquer ici :  INFORMATION  N°2 : table des sinus ; cosinus ;  de grade et Radian…..

L’outil de mesure est un rapporteur   (cercle gradué en radian); le cercle est découpé en 2 p radian .   L'angle droit mesure   radian

   le «2 p » est obtenu en calculant la circonférence du cercle de rayon valant « 1 »

(calcul de la circonférence du cercle = 2 p R   ; si R vaut 1 ;   nous obtenons  2 p  = 2 p  )

                    Pratiquement le radian est  utilisé en sciences physiques, notamment dans les études mettant en jeu les mouvements circulaires et précisément dans les calculs qui font intervenir des vitesses angulaires..

Il est commode, en mécanique’ d’utiliser comme unité d’angle, non pas le degré ou le grade, mais le radian.

Ainsi :

►un point lié tournant autour d’un point (centre) parcours une distance de 2 pi radian ( on dit aussi que le point  il a décrit un arc de 2 π . radians )

► et on dit que la droite liant le centre à ce point à balayée un angle de 360° . (par exemple : voir les cadrans de radar des aiguilleurs du ciel , qui guident les avions) .

Si on considère que « pi = 3,14 » .

► Donc  on écrit  que par équivalence que  2 π  .  « radians » = 360°

► Si 2 π  .  « radians » = 360° ;   alors    π  .radian =  180° 

► Pour « calculer la longueur »  ou « la distance parcourue »  par ce point , et à condition que l’on connaisse la valeur du rayon du cercle (R ) , on remplacera « pi » par « 3,14 »  ce qui nous donnera la formule (déjà connue)  =    2 fois 3,14 fois R =    6,28  R     

III )  CHANGEMENT D’ UNITE « degré ; grade  » et correspondances avec le « radian »

On passe d’un système à l’autre en tenant compte de l’égalité fondamentale : 400 grades = 360 degrés.

Il en résulte que 9 degrés (= 32 400’’) = 10 grades

A)  Première application : transformer des degrés en grades

Exemple   : transformer en grades 16° 21’ 27’’

Nous exprimons ( conversion)  en secondes la mesure de l’angle afin d’obtenir un nombre entier .  

 Nous avons :

Nous savons que 9° = 32400’’ , ou à 10 gr.

La réponse demandée est obtenue en faisant la règle de trois :=18,185 gr.

A)  Première application : transformer des grades en degrés .

Exemple : Transformer en degré , minutes et secondes 43,75 gr.

La réponse est obtenue sous « forme décimale » en effectuant la règle de trois

A partir de 

D’ou x = 39°,375

Nous devons transformer en minutes et secondes la partie décimale de ce résultat :

0°,375 = 60’0,375 = 22’,50

0,50 = 60’’0,5   = 30’’

d’où le résultat suivant : 43,75 gr.  =  39° 22’ 20’’

IV)  Equivalence d’unité  « degré ; grade  »  et correspondances avec le « radian »

TRAVAUX  AUTO- FORMATIFS.

 CONTROLE

1°) Combien y a -t- il  d ’ unités de mesure d’un angle ? 

2°)Nommer les trois unités d ’ angle .

3°) Qu’est ce qu’un degré ? (représenter son symbole mathématique)

4°) Qu’est ce qu’une minute ? (représenter son symbole mathématique)

5°) Qu’est ce qu’une seconde ? (représenter son symbole mathématique)

6°) Comment appelle t- on l’instrument de mesure d’un angle ? (quel est sa précision ?)

7°)  traduire :   l ‘ écriture :                          BAC

EVALUATION :

1°) Tracer un angle de : 36° ;  50 grades ;  ;  ; 

2°) Tracer un angle de :  75°

3°) Tracer un angle de :  120°

4° ) Tracer un angle de :   215°

5° ) COMPLETER  le tableau suivant :

 6°)  Tracer un angle de :   ;  ; 

COMPLETER  le tableau suivant :

COMPLETER  le tableau suivant :